Programas

Ecuación De Onda

« Programas

La ecuación de onda permite describir la dinámica de cualquier fenómeno ondulatorio, como la luz, ondas en el agua, el movimiento de una cuerda o una membrana. A continuación veremos algunas aplicaciones de esta ecuación:

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla^2\phi(\mathbf{r},t).

EJEMPLOS

Ecuación de onda 1D

El problema más sencillo en donde aparece la ecuación de onda es en la propagación de un pulso en una cuerda de largo L, sujeta en los extremos, es decir, a las condiciones de borde \phi(0,t)=0 y \phi(L,t)=0, donde \phi(x,t) es la altura de la cuerda a una distancia x del borde izquierdo en un tiempo t. En una dimensión podemos escribir la ecuación de onda como

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \frac{\partial^2u(\mathbf{r},t)}{\partial x^2}.

Podemos resolver numéricamente la ecuación de difusión mediante diferencias finitas, usando el esquema CTCS:

\frac{u_j^{n+1}-2u_j^n+u_j^{n-1}}{(\Delta t)^2}=v^2\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2},

que podemos reescribir como

u_j^{n+1}=2u_j^n-u_j^{n-1}+r^2\,(u_{j+1}^n-2u_{j}^n+\,u_{j-1}^n),

donde u_j^n=u(x_j,t_n) es la temperatura en la posición x_j=j \Delta x en el tiempo t_n=n\Delta t, y r=\Delta t/(\Delta x)^2. Aquí, \Delta x=L/(N-1) es el tamaño de las N divisiones (de 0 a N-1) del intervalo \left[0,L\right], de modo que x_0=0 y x_{N-1}=L; mientras que \Delta t es el paso de tiempo, que debe cumplir la restricción de convergencia numérica

v\Delta t \leq \Delta x.

« Programas